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高考快递模拟汇编48套·数学（理）所以tan∠DAE=tan∠BDC,因此点M的轨迹是以F,F,为焦点，长轴长为6，去除左、右则∠DAE=∠BDC.顶点的椭圆.因为∠DAE+∠AED=90°所以a2=9,c2=4,所以62=5.所以∠BDC+∠AED=90°，故曲线E的方程为g+5三1(x≠±3】(5分)所以∠DFE=90°，则BD⊥AE.(2分)(2)【证明】由题意可知，过点F,的直线PQ的斜率存在且不因为△PCD是边长为2的等边三角形，点E为CD的中点，为0，则可设其方程为x=my-2.(6分)所以PE⊥CD.[x=my-2,因为面PCD⊥面ABCD,面PCDn面ABCD=CD,号-号-1.所以PE⊥面ABCD.整理，得(5m2+9)y2-20my-25=0.(7分)又BDC面ABCD,所以PE⊥BD设P(x1,y1),Q(x2y2),因为PE∩AE=E,所以BD⊥面APE(4分)20m25则Q'(x2,-y2),y1+y2-5m5m2+9(8分)因为AMC面APE,所以BD⊥AM.(5分)(2)【解】取AB的中点H,连接所以直线PQ'的方程为y=-,EH,则EH⊥CD.以E为坐标原-y2-y1x2-x1点，EH,EC,EP所在的直线分别令y=0,则x=红+=my1(y2-y1)+my1-2=为x轴、y轴、z轴建立如图的空y2+y1y2+y1间直角坐标系.25D2m×由已知条件可知，A(√2，-1,0)，Emy y2-myj+my y2+myi2myy25m2+9-2=-2=-2=D(0,-1,0),B(√2,1,0)，PE=y2+y1y2+y120m5m2+9√PC2-CE2=√22-1'=√359设M(0,0,m)(00,得01.所以直线AM与面BDM所成的角的最大值为30°，故f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，+∞)上单调递减.（4分)(11分)(2)由题意可知，曲线f(x)与直线y=(a+1)x有两个不同的此时AM=|AM1=√/2+1+1=2.(12分)位方法总结求解线面角的正弦值常用空间向量法，需要交点可转化为方程n+2ar2-(a+1)x-1=0在(0，+∞)上根据图形特点建立适当的空间直角坐标系，写出各点的坐有两个不同的解，标，然后求出面的法向量m和直线的方向向量n,设直即函数g(x)=nx+2ar2-(a+1)x-1在(0，+∞)上有两个线与面所成的角为0，利用公式sin0=1cos(m,n〉1=(5分)m·进行计算零点，ImlInl则g'(x)=+ax-(a+1)=ax-(a+1)x+l_(ax-1)(x-1）20【命题立意】本题难度较大，主要考查椭圆的定义、方程与性当a≤0时，ax-1<0,质，直线与椭圆的位置关系，体现了逻辑推理、直观想象、数令g'(x)>0,则01.学运算等核心素养，意在让少数考生得分所以g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，+∞)上单调递减，则(1)【解】当点C不在x轴上时，连接MF2:因为点C为FD的中点，MC⊥F,D,g(x)m=g(1)=-2a-2所以IMF,I=IMDI.(1分)连接OC,则0C为△DF,F2的中位线若-2-2≤0，即-4≤a≤0，则函数g(x)在(0，+)上最多则1DF,I=21OC1=6,只有一个零点，不符合题意(6分)IMF,I+IMF,I=IMF,I+IMDI=IDF,I=6>IF F2I=4.1(3分)若-2a-2>0,即a<-4,g(2)=ln2+2a-2(a+1)-1=当点C在x轴上时，不存在点M,使得∠DCM=90°.ln2-3<0D190卷46·数学（理）

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